Verdadeiro ou falso: se duas permutações α e β têm suportes disjuntos, então ||α β|| = ||α|| + ||β||. Justifique.
Verdadeiro. Vejamos porque. Dada uma permutação π, tem-se que
||π|| = |E| - orb(π) (1)
Pode-se considerar que
orb(π) = orbu(π) + orbnu(π) (2)
onde orbu(π) é a quantidade de órbitas de tamanho unitário de π, e orbnu(π) é a quantidade de órbitas de tamanho não unitário de π.
Como todos os elementos de E que não fazem parte do suporte de π são elementos fixos, e portanto cada um desses elementos compõe uma órbita de tamanho unitário, tem-se que
orbu(π) = |E| - |Supp(π)| (3)
Logo, pode-se calcular a norma de uma permutação π com base na quantidade de elementos do suporte (ou seja, a quantidade de elementos não-fixos) e na quantidade de órbitas unitárias (ou seja, a quantidade de elementos fixos) de π:
Por (1) e (2):
||π|| = |E| - orbu(π) - orbnu(π)
Substituindo orbu(π) conforme (3):
||π|| = |E| - |E| + |Supp(π)| - orbnu(π)
||π|| = |Supp(π)| - orbnu(π) (4)
Por (4), podemos representar ||α β|| como:
||α β|| = |Supp(α β)| - orbnu(α β)De acordo com o enunciado, α e β têm suportes disjuntos; portanto
||α β|| = |Supp(α)| + |Supp(β)| - orbnu(α) - orbnu(β)
||α β|| = |Supp(α)| - orbnu(α) + |Supp(β)| - orbnu(β)
Mas, por (4), pode-se considerar que ||α|| = |Supp(α)| - orbnu(α), e ||β|| = |Supp(β)| - orbnu(β). Portanto,
||α β|| = ||α|| + ||β||
E, assim, a resposta do exercício é "verdadeiro".
Verdadeiro ou falso: se duas permutações α e β têm suportes disjuntos, e ambas dividem uma mesma permutação π, então α β divide π. Justifique.
Falso, por contra-exemplo. Considere &alpha = (a b), β = (c d) e π = (a c b d).
α e β têm suportes disjuntos, pois a intersecção de {a,b} e {c,d} é vazia.
Pela teoria de divisibilidade de permutações, uma permutação σ divide uma permutação π (representado por σ|π) quando ||πσ-1|| = ||π|| - ||σ||. Dessa forma, pode-se verificar se α e β dividem π:
||πα-1|| = ||(a d)(b c)|| = 2
||π|| - ||α|| = 3 - 1 = 2
Portanto, ||πα-1|| = ||π|| - ||α||, o que implica que α|π.
||πβ-1|| = ||(a c)(b d)|| = 2
||π|| - ||β|| = 3 - 1 = 2
Portanto, ||πβ-1|| = ||π|| - ||β||, o que implica que β|π.
Assim, α e β escolhidos satisfazem as restrições do enunciado. Resta calcular αβ e verificar se αβ|π
αβ = (a b)(c d)
Para que αβ|π, é preciso que ||π(αβ)-1|| = ||π|| - ||αβ||.
||π|| = ||(a c b d)|| = 3
||αβ|| = ||(a b)(c d)|| = 2
||π|| - ||αβ|| = 3 - 2 = 1
||π(αβ)-1|| = ||(a c b d)((a b)(c d))-1|| = ||(a c b d)(c d)(a b)|| = ||(a d b c)|| = 3
Portanto, ||π(αβ)-1|| ≠ ||π|| - ||αβ||, e, logo, αβ não divide π.
Dessa forma, foram mostrados α β que têm suportes disjuntos, e que dividem uma mesma permutação π, mas αβ não divide π. Por este contra-exemplo, a afirmação do enunciado é falsa.