# Last edited on 2022-09-05 14:34:03 by stolfi

Matemática do contínuo:

A densidade de fluxo de energia térmica através de uma superfície com
direção normal {u} é {F = -c u \dot \grad T}, onde {c} é a condutividade
térmica e {\grad T} é o gradiente da temperatura.

A unidade de {F} é em J/m^2/s (J = joule), a unidade de {\grad T} é em
K/m (K = grau kelvin), e a unidade de {c} é (J/m^2/s)/(K/m) = J/m/K/s.

A quantidade de energia térmica {dU/dt} que acumula na vizinhança cada ponto,
por unidade de tempo e de volume, é o negativo do divergente do fluxo de
energia, {dU/dt = -\div F = -\div(-c\grad T) = c \lap T}, onde {\lap T} é o
laplaciano de {T}, ou seja {\div\grad T = d^2T/dx^2 + d^2T/dy^2 + d^2T/dz^2}. 
A unidade de {dU/dt} é J/m^3/s.

A derivada da temperatura na vizinhança desse ponto, por unidade de
tempo, é {dU/dt} dividida pela capacidade térmica {f} do
material por unidade de volume, ou seja a quantidade de energia
necessária para produzir um aumentode temperatura de 1 kelvin em 1 m^3
de material.  Portanto {dT/dt = (1/f)dU/dt = (c/f)\lap T}.
A unidade de {f} é J/m^3/K e a de {dT/dt} obviamente é K/s.

Na simulação numérica, as derivadas são calculadas por diferenças
divididas entre pontos vizinhos da grade. Se o passo na direção {x} é
{dx}, então {d^T/dx^2} é aproximadamente
{T[iz][iy][ix+1] - 2 T[iz][iy][ix] + T[iz][iy][ix-1])/dx^2}
supondo que os índices das matrizes são {[iz][iy][ix]}.

Se dx=dy=dz, o laplaciano simplifica para 
{(\lap T)[iz][iy][ix] = 6(Ta[iz][iy][ix] - T[ix][iy][iz])/dx^3}
onde {Ta[iz][iy][ix]} é a média de {T} nos 6 pixels vizinhos.

Estas equações precisam ser modificada em voxels da fronteira 
do objeto, porque a condução através da froneira metal-ar é
diferente da condução dentro do metal. 

Portanto é melhor calcular separadamente o fluxo de energia
através de cada face do voxel e somar esses fluxos parciais 
para obter {dU/dt}.

Por exemplo o fluxo de energia pela face {x} inferior do voxel,
se o voxel vizinho também é metal, é aproximadamente 
{dQx0 = c(T[iz][iy][ix-1] - T[iz][iy][ix])dy dz/dx},
Isso contribui para {dU/dt} a quantia {dQx0/(dx dy dz)}
ou seja {c(T[iz][iy][ix-1] - T[iz][iy][ix])/dx^2}

Se o voxel vizinho é vazio ou não existe, podemos por enquanto
supor que está numa temperatura ambiente T0. Nesse caso 
{dQx0 = h(T0 - T[iz][iy][ix])dy dz/dx}, 
onde {h} é um coeficiente de condução similar a {c}, mas com valor
muito menor que {c} se for ar, talvez um pouco maior que {c} se
for água.

Nas tabelas a capadidade térmica do metal pode estar por
unidade de massa (J/K/kg)  e não de volume (J/K/m^3).  Então será 
preciso calcular {f} multiplicando esse número pela densidade em kg/m^3.