# Last edited on 2021-07-14 23:12:27 by jstolfi

>> [Victor:] Realmente não é adequado somente remover a
>> coordenada Z, e uma projeção em uma superfícia curva
>> (talvez esférica) possa ser uma saída razoável.

  A projeção que o Eduardo está usando é uma projeção na
  esfera seguida de uma projeção "polar" em que a coordenada
  radial é a latitude a partir do "pólo norte".

  Essa projeção distorce as distâncias na direção angular,
  por um fator que chega a \pi/2= 1.57 quando o ponto está
  na parte vertical do escalpo (inclinação 90 graus). Porém,
  Acredito que a projeção usada não é crítica, desde que
  preserve grosseiramente as distâncias (que não seria o
  caso se simplesmente ignorássemos o Z).

>> [Renan:] Cada imagem de ressonância magnética terá um
>> valor [para o X do centro do escalpo]. Isso depende do
>> protocolo de aquisição e pode variar; por exemplo, devido
>> à geometria da cabeça do paciente. 

>> [Victor:] Todas imagens de ressonância e os pontos do
>> navegador podem ser transformados para um espaço comum
>> chamado espaço mundo (ou scanner). Neste espaço a origem
>> do centro de coordenadas é colocada no centro da cabeça
>> de todos sujeitos, resultando em 0,0,0 para X, Y, Z.
>> Tenho scripts pra fazer essa transformação se necessária.

  O Eduardo pode estar interessado nesses scripts. Mas por
  enquanto ele está usando apenas o arquivo de dados de MEP,
  não as imagens. Portanto seria bom se as coordenadas
  nesses arquivos estivessem já nesse "sistema mundo".

>> [Renan:] Para o sujeito 04 o valor de X (eixo sagital) é de 85 mm.

  OK, então nosso chute (80 mm) estava bom o bastante.

>> [Renan:] A melhor orientação da bobina é posicioná-la a
>> 45° em relação a linha media. [...] Durante o
>> procedimento manual de estimulação realmente podem
>> ocorrer alguns problemas de posicionamento, desde
>> movimentos involuntários do paciente até fadiga do
>> operador no posicionamento (protocolos são longos e a
>> bobina é relativamente pesada). Por mais que temos o
>> sistema de navegação para nos guiar, alguns estímulos
>> podem realmente ter sofrido os problemas que apresentou
>> (variação da intensidade do estímulo, por exemplo devida
>> a variação na orientação da bobina e na distância ao
>> escalpo).

>> [Victor:] A orientação mais adequada é em geral
>> perpendicular ao sulco cortical sob o ponto de
>> estimulação, para um ponto específico (hot-spot) fica
>> aproximadamente 45 graus da linha sagital média, mas pode
>> ser bem diferente para cada ponto do mapa, depende da
>> anatomia. A orientação é uma variável que sempre
>> procuramos ajustar para obter máxima amplitude de MEP.
>> Nestes dados, tentamos mantes uma orientação fixa para
>> todos os pontos similar ao do hotspot.

  OK. Mas então duas medidas em pontos muito próximos podem
  ter sido feitas com a bobina em orientações diferentes.
  Correto?

>> [Renan:] [0.03mm é] a precisão apenas do robô. Sempre tentamos
>> posicionar o centro da bobina enconstado no escalpo.
  
>> [Victor:] Nós usamos uma câmera que cuja precisão não é
>> muito boa, e as coordenadas têm bastante flutuação. [...]
>> A distância bobina-cortex tem um altíssimo efeito na
>> amplitude da resposta. [...] Penso que variações de 1.5
>> mm, podem reduzir a amplitude do MEP em cerca de 10%.

  OK.
  
>> [Renan:] [Há] variações naturais da intensidade de
>> resposta para mesmo estímulo, na mesma posição e
>> orientação.
  
>> [Victor:] [Outra causa possível é] flutuação inerente dos
>> MEPs. Eles são uma medida que naturalmente flutua
>> bastante, então mesmo para o melhor modelo, ainda haverá
>> possivelmente altos resíduos.

  OK.

Segue um "relatório 2".
------------------------------------------------------------

Modelagem matemática do problema
--------------------------------

Pelo que entendi, o problema pode ser formulado como
encontrar o máximo de uma função F(x,y,A,D) (a intensidade
do MEP para um estímulo de intensidade padrão) onde (x,y)
são as coordenadas do ponto do escalpo na projeção 2D (Xc e
Yc no relatório anterior); A é a orentação da bobina (um
ângulo relativo a alguma direção de referência); e D é a
distância do escalpo à bobina.

Pelo que entendi, a função pode ser parcialmente separada em
F(x,y,A,D) = FP(x,y)*FA(x,y,A)*FD(x,y,D), onde

  FP(x,y) é a resposta máxima que pode ser obtida no ponto
  (x,c), com a bobina encostada no escalpo e na orientação
  ótima;
  
  FA(x,y,A) é o fator de atenuação devido à orientação da
  bobina. Vale 1 quando A é uma orientação ótima para o
  ponto {x,y), e menos que 1 para outras orientações.
  
  FD(x,y,D) é o fator de atenuação devido à distância entre
  bobina e escalpo. Vale 1 quando D = 0 (bobina encostada no
  escalpo), diminui com D crescente, de maneira que em
  princípio depende da posição.

Além disso as medidas F[i] da F tem um erro inerente devido
à variação natural do MEP e de outras fontes de erro de
medida.

Considerações para a versão "offline" do problema
-------------------------------------------------

Na versão "offline" do problema, que o Eduardo está
considerando agora, queremos encontrar o máximo a partir de
um conjunto fixo e finito de medidas (x[i], y[i], F[i],
D[i]) da funçaõ F e da distância D.

Nesses dados, as distâncias D[i] variavam meio
aleatóriamente entre 0 e uns 3 mm. Pelo chute do Victor, o
fator distância FD(x,y,D) poderia ser 0.9 para D = 1.5 mm.
Pelas suas respostas, acima, a orientação A, e portanto o
fator FA(x,y,A), também parecem ter variado de maneira
inconsistente.

Porém, como esses fatores são desconhecidos, só podemos
supor que eles são parte do "ruído" (erro de medida) da F. E
pelo visto esse erros são da ordemde 10-20% do valor do MEP.

Para testar os algoritmos de otimização, que escolhem os
pontos de amostragem à medida que executam, precisamos
ajustar a esses dados uma função FQ(x,y) contínua e suave.
Como relatado antes, estamos usando um polinômio de grau 6
em x e y, ajustado por mínimos quadrados. 

Felizmente, para os testes dos algoritmos não é necessário
que essa função seja "correta"; basta que ela tenha uma
forma "típica". Essa aproximação que mostramos parece ser
mais que adequada.

Considerações para a versão "online" do problema
------------------------------------------------

Na versão "online", cada medição será feita num ponto de
amostragem (x[i],y[i]) escolhido pelo algoritmo de
otimização, com base nas medições anteriores.

Idealmente o posicionamento da bobina será feito pelo braço
do robô, de maneira completamente automática. Em uma solução
intermediária, como discutimos, a bobina poderia ser
posicionada manualmente, mas com "feedback" exibido pelo
sistema em tempo real, e possívelmente com restrições de
movimento impostas pelo braço do robô. ("Haptic interface" é
um nome para esse tipo de técnica.)

Nessa versão, o objetivo seria maximizar o fator "intrínseco"
FP(x,y) da resposta F(x,y,A,D).  Para isso será necessário 
eliminar de alguma forma os efeitos dos fatores espúrios
FA(x,y,A) e FD(x,y,D).

O fator distância FD pode ser eliminado garantindo-se que a
bobina sempre estará em contato com o escalpo no ponto
(x[i],y[i]) e paralela ao plano tangente nesse ponto. Mesmo
que o paciente mova a cabeça, se for mantido o contato e o
paralelismo o fator FD(x,y,D) será 1 (por definição).

O fator orientação FA(x,y,A) poderia ser eliminado da mesma
form se a bobina fosse sempre posicionada com a rotação
ótima A0(x[i],y[i]). Porém, pelo que entendi até agora, essa
direção ótima varia bastante com a posição (x,y).
  
Pelo que entendi, o fator orientação FA(x,y,A) pode ser
modelado por FAmin + (1-FAmin)|cos(A - A0(x,y))| onde
A0(x,y) é o ãngulo de orientação ótimo para o ponto (x,y), e
FAmin é a resposta relativa observada com a orientação
péssima (a 90 graus da ótima). Faz sentido?

Se isso for verdade, creio que será necessário fazer pelo
menos três medições F[i,j] do MEP em cada ponto de amostragem
(x[i],y[i]), com a bobina em 3 ângulos A[i,j] distintos.
Digamos, A[i,0] seria o melhor chute a priori para
A0(x[i],y[i]), e A[i,1],A[i,2] seriam duas orientações a 45
graus desse chute, em cada lado.

Supondo o modelo acima para a função FA(x,y,A), com essas
três medidas deveria ser possível identificar não só a
direção ótima local A0(x[i],y[i]), mas também calcular e
eliminar o fator FA(x[i],y[i],A[i,j]) de cada medida F[i,j].

Feita esta correção, os três valores de F[i,j] seriam três
medidas de FP(x[i],y[i]). De lambuja, a média dos três
valores seria uma medida um pouco mais acurada de
FP(x[i],y[i])

As medições F[i] ainda estariam contaminadas com erros de várias 
fontes.  Acredito que, com ajuste cuidadoso dos parâmetros,
os algoritmos de otimização consegurão convergir para o ponto 
de máximo da FP(x,y) apesar desses erros.  No pior caso, será 
necessário fazer mais iterações dos métodos e/ou fazer mais 
medições a cada iteração.

Fas sentido?

------------------------------------------------------------