
Sugestões:

\paragraph{A definição de Mach:} Em 1868 [...] massa inercial $m_2$.

\begin{equation}
  \label{e.mach2}
  \frac{m_2}{m_1} = \frac{a_1}{a_2} \obs{note inversão}
\end{equation}

[...]

\paragraph{Método de forças iguais:} Em muitos livros-texto adotados no Brasil (por exemplo, Young,Halliday, Serway, Moyses, Marion, Symon) \obs{espaços depois das vírgulas} [...] sem citar Mach.  Nessa varante, a mesma força externa constante $F$ \obs{sem negrito} é aplicada separadamente a cada objeto, inicialmente em repouso. A aceleração de cada corpo é calculada a partir da distãncia $s_i$ percorrida em um dado tempo $t_i$ pela fórmula $a_i = s_i/t_i^2$, e a razão das massa é então obtida pela equação~(\ref{e.mach2}).  Se a distância $s$ for a mesma, podemos simplificar para [...]. 

Embora muito comum, esta definição tem alguns inconvenientes.  Por exemplo, ela exige o uso de um cronômetro e/ou régua graduada, e um meio de aplicara a mesma força constante aos dois objetos.  Mais ainda, ela não funciona se o experimento é feito em um sistema de referência não inercial, ou se a gravidade influir na aceleração medida.  Por exemplo, se um destes fatores acrescentar uma aceleração aparente $a^*_i$ a cada corpo, na direação e sentido de $F$, as acelerações medidas serão $a_1 = F/m_1 + a^*_1$ e $a_2 = F/m_2 + a^*_2$.  A razão correta das massas seria então
  \begin{equation}
    \label{e.mach4}
    \frac{m_2}{m_1} = \frac{a_1 - a^*_1}{a_2 - a^*_2}
  \end{equation}
Se, em vez desta equação, usarmos a equação original de Mach,~(\ref{e.mach2}) ou~(\ref{e.mach3}), o resultado será incorreto. Podemos inclusive obter massa negativa, ou zero, ou infinita.

\paragraph{Método da mola:} Outra definição operacional da massa inercial é presentada no livro texto de Knudsen~\cite{knud}.  Neste método, cada massa é presa a uma mola de tal forma que possa se deslocar sem atrito na direção da mesma.  Veja a figura~\ref{f.mola}. A mola é distendida e a massa é liberada de modo a entrar em oscilação.  A fequência da oscilação é $f_i = \sqrt{k/m_i}/(2\pi)$, e portanto a razão das massas pode ser calculada por
  \begin{equation}
    \label{e.knu1}
    \frac{m_2}{m_1} =  \left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2
  \end{equation}
Este método não exige uma força externa conhecida nem medições de distância, mas exige que a mola seja linear (força proporcional à elongação) e a medição das frequências $f_1$ e $f_2$ com um cronômetro.  

Em vez do cronômetro, poder-se-ia medis a razão $f_1/f_2$ colocando as duas massas em oscilação simultaneamente, e contando as oscilações num período de tempo arbitrário.  Porém, neste caso seria necessário ter duas molas com mesma constante. 

Em qualquer caso, uma medição razoavemente precisa da massas por este método exigiria a contagem de dezenas de períodos, e a oscilação pode parar antes disso.

\paragraph{Balança romana:} Neste artigo propomos uma definição operacional alternativa de massa inercial, usando uma balança romana (Figura~\ref{f.bal1}).  

Este dispositivo consiste de uma haste rígida que suporta dois objetos e é suportada por um \emph{pivô} entre eles, sendo que as três articulações permitem rotação livre.  Um dos objetos é pendurado em um ponto fixo, em uma extremidade da haste, e o outro é um \emph{contrapeso} de referência que pode ser deslocado ao longo do outro ramo da haste.  

A balança romana tem sido comumente usada (desde muito antes da fundação de Roma) para medir a massa gravitacional. Neste uso, o pivô é suportado verticalmente de modo que sua posição permanece fixa; o objeto cuja massa $m_2$ se quer medir é pendurado na articulação fixa; e o contrapeso, cuja massa $m_1$ será a unidade de medida, é deslocado até que a haste permaneça em equilíbrio, sem tendência a girar em torno do pivô. Nesta situação, os torques $q_1 = g m_1 d_1$ e $q_2 = g m_2 d_2$ gerados pelos pesos devem ser iguais; onde $g$ é a aceleração da gravidade, e $d_1$ e $d_2$ são as distâncias das articulações ao pivô.  Veja a figura~\ref{f.rom2}.  A razão das massas gravitacionais é então
 \begin{equation}
   \label{e.roma1}
   \frac{m_2}{m_1} = \frac{d_1}{d_2}
 \end{equation}
Esta fórmula supõe que a haste em si, sem os dois pesos, está equilibrada; ou seja, que o pivô fica no centro de massa (CM) da haste em si.   Neste caso, os torques gerados pelos pesos dos dois ramos da haste são iguais, e portanto se cancelam.  Neste artigo vamos supor que esta condição se verifica. (Se este não é o caso, a razão das massas será uma função mais complicada da posição e  massa do contrapeso.)

Observe que a balança romana fornece a razão correta das massas gravitacionais, independentemente da aceleração da gravidade $g$.  Ela também funciona em um sistema não inercial, pois o efeito da aceleração do mesmo é indistinguível de uma variação da gravidade $g$.
 
Uma variante da balança romana é a balança escandinava, em que as articulações dos dois pesos são fixas nos extremos da haste, e o pivô pode ser deslocado ao longo da mesma, variando tanto $d_1$ quanto $d_2$. Nos dois tipos, a massa gravitacional $m_2 = m_1 d_1/d_2$, é normalmente marcada diretamente na haste, para cada posição da articulação móvel; evitando-se assim a necessidade de medir distâncias e fazer contas.   Entretanto, na balança escandinava o pivô geralmente não coincide com o CM da haste, o que limita a balança a um contrapeso fixo e exige uma escala gravada mais complexa, que leva em conta o momento angular da haste em si.

\paragraph{Medindo a massa inercial:}  A proposta deste artigo é usar a balança romana para medir (ou definir operacionalmente) a razão entre as massas \emph{inerciais} de dois objetos.  Para esse fim, usamos a balança deitada de lado, de modo que as forças relevantes sejam horizontais em vez de  verticais.  Colocamos a haste e os dois objetos sobre carrinhos ou outros suportes que compensem as forças gravitacionais e de atrito com a mesa, e aplicamos uma força $F$ ao pivô, na direção perpendicularà haste.  Veja a Figura~\ref{f.rom3}.  A posição $d_1$ do contrapeso é ajustada até que a haste não tenha tendência a rodar quando a força $F$ é aplicada. 

Ao contrário dos métodos de Mach ou de forças externas iguais, este método não exige medições de tempos ou distâncias percorridas, nem uma força constante e reprodutível.  A força pode mesmo ser um curto impulso horizontal aplicado no pivô.  As únicas medições necessárias são as distâncias $d_1$ e $d_2$, sendo esta última fixa. 

Este método também pode ser usado em um sistema não inercial, por exemlo, sobre uma plataforma que se desloca horizontalmente com acelração (constante ou variável) perpendicular à haste.  \obs{explicar melhor}

\paragraph{Equivalência das massas:} Um complemento do experimento [...]

\paragraph{Observador inercial relativístico:} É interessante considerar como estas definições operacionais são afetadas quando as medidas são feitas por um observador que está em movimento uniforme (inercial) em relação às duas massas, mas com velocidade suficientemente alta para que os efeitos da relatvidade restrita sejam significativos.

Goodlinson e [...]

\obs{O método de Knudsen também é afetado pela alteração relatvística do tempo.}


