16/3/20
Capítulo 2 do livro texto
video https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs e https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY
flecha com:
as flechas não estão presas a pontos
você pode mexer um vetor/flecha desde que não mude a direção e o tamanho (deslocamento paralelo)
https://mathinsight.org/vector_introduction
\vec{a} + \vec{b}
Coloque um vetor no fim do outro. A soma é o vetor do inicio do primeiro até o fim do segundo
multiplicar um vetor pro um numero é multiplicar o tamanho da flecha por esse numero sem mexer na direção
um ponto
\vec{a}+\vec{0} = \vec{a}
um vetor é um ponto no espaço R^n.
representado por uma sequencia de números que são as coordenadas dos pontos
representado como um vetor de pé
\left[ \begin{array}{r} 2\\ 4\\ -3\\ \end{array} \right]
nessas transparências eu vou representar o vetor como [2,4,-3]^T e de vez em quando vou nem usar o { }^T (só porque fica mais fácil editar a página).
[1,2,3]+[10,20,-10]=[11,22,-7]
4*[2,3,4] = [8,12,16]
o ponto no espaço
[2,3,-1]^T
é o vetor/flecha
2\vec{x} + 3\vec{y} -1 \vec{z}
onde \vec{x} é o vetor de magnitude 1 na direção da coordenada x, vec{y} o vetor de margnitude 1 na direção da coordenada y
regras: https://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html
\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
(\vec{a}+\vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+\vec{c})
existe o vetor \vec{0} tal que \vec{0}+\vec{a} = \vec{a}+\vec{0} = \vec{a}
para cada vetor \vec{a} existe \vec{-a} tal que \vec{a} + \vec{-a} = \vec{0}
\alpha (\beta \vec{a} ) = (\alpha \beta) \vec{a}
(\alpha + \beta) \vec{a} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{a}
\alpha(\vec{a}+\vec{b}) = \alpha \vec{a} + \alpha \vec{b}
1 \vec{a} = \vec{a}
Se V é um espaço vetorial, S é um subespaço de V se
dados vetores a, b e c, uma combinação linear desses vetores é o vetor
\alpha a + \beta b + \gamma c
para algum \alpha, \beta e \gamma real.
um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum deles é a combinação linear dos outros.
O span de vetores a e b é conjunto de vetores gerado por todas as combinações lineares de a e b.
seção III cap 2 do livro texto
base é um conjunto linearmente independente de vetores cujo span é o próprio espaço vetorial.
o número de vetores na base é a dimensão do espaço.
Se temos pontos no espaço com 3 coordenadas, então em principio estamos falando do espaço R^3 que é um espaço de 3 dimensões.
Base: [1,0,0], [0,1,0], e [0,0,1]
Mas podemos estar interessados num subespaço desse espaço. Por exemplos os pontos [x,y,z] onde x=y=z.
Esse subespaço tem como base [1,1,1], e portanto tem dimensão 1.
O espaço de dimensão 1 esta embedded no espaço “maior” de dimensão 3.
um affine space é um subespaço que não contem o \vec{0}
https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space
[x,y,z] onde x = y = z-1
isso é um “espaço” 1-dimensional, deslocado na direção z
veja que isso não é um espaço vetorial pois ele não contem o [0,0,0]. Mas pode ser pensado como um espaço vetorial deslocado
Num certo sentido, espaços affine captura a ideia de linhas (espaços affine 1 D) e planos (espaços affine 2D) embedded em espaços vetoriais maiores.
Um linha no espaço 3D é algo parecido com um subespaço de 1D embedded no espaço 3.
Um plano no espaço 3D é um espaço affine 2D embedded num espaço 3D
Normalmente chamamos de hiperplano um espaço affine de dimensão 1 menos a dimensão do espaço onde ele esta embedded. (Mas acho isso não é 100% necessário - acho que o hiperplano pode ter menos dimensões ainda - uma linha em 3D é um hiperplano)
Indo mais para geometria, hiperesfera é o conceito de esfera (pontos distantes r de um centro) para espaços de mais dimensões.
hipercubo estende cubos para mais dimensões.
simplex estende triângulos (e tetraedros) para N dimensões.
de vez em quando (mas não o curso de álgebra linear) queremos falar de uma “linha curva” ou um “plano curvo”
Isso são extensões não lineares de espaço affine.
superfície é um “espaço curvo” 2D
manifold é o nome genérico de um “espaço curvo” embedded dentro de um espaço maior.
Um espaço affine tradicional (não curvo) é um manifold linear
função de 2 vetores para um real <a, b>
segue regras: https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html
<a+b,c> = <a,c> + <b,c>
<\alpha a , b> = \alpha <a,b>
<a,b> = <b,a>
<a,a> \ge 0
<a,a> = 0 se e somente se a = 0
<a, b> em algumas áreas de aprendizado de maquina é chamado de kernel.
<a , b> = |a| |b| cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots a_n b_n
onde a_i é o valor da dimensão i do vetor a. \theta é o angulo entre os vetores, $| a| $ é a magnitude do vetor a
dot product é uma medida de similaridade entre vetores
quanto mais parecidos maior o número.
quando os vetores são paralelos (mesma direção), \theta = 0, cos \theta = 1
para o produto interno tradicional
|v| = \sqrt{<v,v>}
Produto interno é uma forma de definir o tamanho de um vetor (que é mais relevante se os vetores são coisas esquisitas - ver abaixo)
d(x,y) = \sqrt{<x-y,x-y>}
Vetores são ortogonais (angulo entre eles é 90 graus) se <a,b> = 0
base é ortogonal se cada par de vetores de uma base são ortogonais entre si.
base é ortonormal se alem de ortogonal cada vetor da base tem tamanho = 1
a+bx+cx^2+dx^3
soma e produto são soma de polinômios e produto dos coeficientes pelo escalas.
Note que cada vetor é uma função.
a base tradicional desse espaço é {1,x,x^2,x^3}
Esse espaço tem dimensão 4
o polinômio acima pode ser representado como [a,b,c,d]. Veja que as operações funcionam com essa representação
Não há uma definição única para o produto interno de polinômios veja https://math.stackexchange.com/questions/2412804/examples-of-inner-products-on-a-polynomial-vector-space
a_0 +a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots
pode ser representado com o vetor infinito [a_0, a_1, a_2, \ldots, 0 , 0 \ldots]
espaço de infinitas dimensões!
todas as funções definidas no intervalo [a,b].
soma de funções f+g = (f+g)(x)= f(x)+g(x)
produto por escalar \alpha f = (\alpha f)(x) = \alpha f(x)
base??
<f,g> = \int_{a}^{b} f g dx