Vetores

Vetor é uma sequencia de numeros de um certo tamanho.

• para coisas simples, e para tamanhos de vetores pequenos voce pode usar uma lista de numeros como um vetor.

• mas veremos que existe o pacote Numpy (que precisa ser instalado) mais apropriado para isso.

Matrizes

matrizes são estruturas 2D (retangulos ou quadrados) de dados numericos.

• para coisas simples, e para tamanhos de vetores pequenos voce pode usar uma lista de listas como uma matrix

a matrix

1  2  3  4 
5  6  7  8
9 10 11 12

pode ser representado como a lista:

mat = [ [1,  2,  3,  4 ], [5,  6,  7,  8,], [9, 10, 11, 12,] ]

uma lista de 3 elementos onde cada elemento é uma lista que representa uma linha da matriz

o numero 7 esta na posicao 3 da segunda linha e portanto é indexado como

mat[1][2]

mat[1] é o segundo elemento da lista mat que é ele mesmo uma lista/linha. o [2] pega o 3o elemento desta linha.

Numpy

numpy é um pacote que implementa uma coisa generica chamada array Um vetor é um array de uma dimensao, uma matriz é um array de 2 dimensões. Arrays podem ter 3 ou mais dimensões.

Um array 3D pode representar valores num espaço 3D, tipo temperatura na sala, ou no oceano…

• Para usar os itens deste pacote deve-se importá-lo inicialmente com o comando

  import numpy as np

• O objeto mais simples da biblioteca é o array que serve para criar vetores homogêneos multi-dimensionais.

• Um vetor pode ser criado a partir de uma lista:

  >>> import numpy as np
  >>> a = np.array([1,2,3])
  >>> a
  array([1, 2, 3])
  >>> a.ndim
  1
  >>> a.size
  3
  >>> 

• Neste exemplo criamos um array de dimensão 1 com tamanho 3.

• Um uma matriz pode ser criada a partir de uma lista de listas como acima:

  >>> a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])                  
  >>> a
  array([[1, 2, 3],
         [4, 5, 6]])
  >>> a.ndim
  2
  >>> a.size
  6
  >>> 

• Neste exemplo criamos um array de dimensão 2 com tamanho 6.

outras funcoes p/ a criacao de um array

• Um array pode ser criado com mais do que uma dimensão utilizando as funções arange e reshape.

  >>> a = np.arange(10)
  >>> a
  array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
  >>> a = np.arange(10).reshape(2,5)
  >>> a
  array([[0, 1, 2, 3, 4],
         [5, 6, 7, 8, 9]])
  >>> 

• o shape de um array é o numero de linhas (se 1D) ou o numero de linhas e colunas (se 2D) ou o numero de fatias, colunas e linhas (se 3D), etc.

• Neste exemplo criamos um array de dimensão 1 com tamanho 10 e depois rearanjamos esses 10 valores em um formato bidimensional 2 x 5.

• NumPy oferece a função zeros que cria um array contendo apenas zeros. Seu argumento de entrada é uma tupla com o shape

  >>> np.zeros((3))
  array([ 0.,  0.,  0.])
  >>> np.zeros((3,4))
  array([[ 0.,  0.,  0.,  0.],
         [ 0.,  0.,  0.,  0.],
         [ 0.,  0.,  0.,  0.]])
  >>> 

• Também existe a função ones que cria um array inicializado com uns.

  >>> np.ones((2,5))
  array([[ 1.,  1.,  1.,  1.,  1.],
         [ 1.,  1.,  1.,  1.,  1.]])
  >>> 

• e outros

Indexação de arrays

https://numpy.org/doc/stable/reference/arrays.indexing.html

• tradicional

X = np.arange(1000).reshape((10,100)) 
X.shape # 10 linhas 100 colunas

X[2,3] 

veja que é diferente da indexação matriz como lista de listas (X[2][3])

• por slices

X[0:4,8]
X[:,8]
X[0:4,8:10]

• menos dimensões

X[1] - 2a linha, todas as colunas

Novas formas de indexação

• por outro array ou lista

arr = np.array([3,39,29,12])
lis = [3,39,29,12]

X[3,arr]
X[3,lis]

• por array booleano

arr
arr[np.array([True,False,False,True])

e = np.array([True,False,False,True,False,False,True,False,False,True,False])
X[e,8]

• indexacao por array de inteiros e por boleanos é comum em outras linguagens que tem array como tipo pre definido (R, Matlab, julia)

Operações em arrays

• + - * / funcionam para array (operação elemento por elemento)

• * não é a multiplicação de matrizes (isso é o método dot)

a = np.array([10,20,30])
b = np.array([1,2,3])
a+b
a*b
a/b

• multiplicação de matrizes (como em algebra linear)

a.dot(b)

np.dot(a,b)

• igualdade == funciona para arrays (elemento por elemento)

a = np.array([1,2,3])
b = np.array([1,4,3])
a == b

diferente de listas que verificam se as 2 listas sao iguais

[1,2,3] == [1,4,3]

np.all( np.array([1,2,3]) == np.array([1,4,3]) )

• outras comparações precisam tambem funcionam mas normalmente se usa funções do numpy

a = np.array([1,2,3])
b = np.array([1,4,3])
a > b
np.greater(a,b)

array de booleanos

operações logicas em arrays nao funcionam - use as funçoes do numpy

a = np.array([ True, False, True])
b = np.array([ True, False, False])

a and b

np.logical_and(a,b)

broadcast

os argumentos não precisam ter a mesmas ndim (inclusive atribuição)

a+2
4*X
np.array([1,2,3]) == 1

X % 2 == 0

• broadcast para array 2D e mais é mais complicado. https://docs.scipy.org/doc/numpy/user/basics.broadcasting.html

Por que numpy?

• mais eficiente em memoria

• mais rapido

• funcoes uteis.

indexação avançada + broadcast ( exemplo)

nao fazer loops explicitos

Rodar no ipython

import numpy as np

def g1(x):
    for i in range(x.shape[0]):
        for j in range(x.shape[1]):
            if x[i,j] < 0.5:
                x[i,j]=0.0
    return x
    
def g2(x):
    x[x<0.5]=0.0
    return x
    
y = np.random.rand(4000,30)
x = np.array(y,copy=True)
%timeit x1 = g1(x)
x = np.array(y,copy=True)
%timeit x2 = g2(x)

x<0.5 é um array 2D booleano que sever para indexar os elementos de x que vao trocar de valor

Funçoes em numpy

Funções elemento por elemento

• np.log

• + - / *

• np.add

• np.greater >

• np.logical_and

Funções que agregam varios valores

• np.all
• np.sum https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.sum.html#numpy.sum
• np.max
• np.amax
• np.mean

axis - faz a operação agregação nessa dimensão - sobram as outras

a = np.arange(24).reshape(3,4,2)
a

np.sum(a,axis=0)

np.amax(a,axis=(1,2))

Junta e quebra arrays

https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.array-manipulation.html#joining-arrays

• concatenate - numa dimensão que ja existe - para arrays 2D vstack e hstack para juntar na vertical ou na horizontal
• stack numa nova dimensão

Algebra linear

https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.linalg.html

• produto de matrizes e vetores
• inversão de matrizes
• fatoração de matrizes
• auto-vetores e auto-valores

I/O

Formato interno para matrizes npy

• save
• load

Texto

• savetxt
• loadtxt

csv

• pacote da standard library csv

• funcão do pandas pandas.read_csv